Di kesempatan sebelumnya, dalam tutorial serba definisi ini telah disinggung tentang turunan (differensial) baik turunan fungsi aljabar maupun turunan fungsi trigonometri. Nah taukah anda bahwa integral merupakan kebalikan dari turunan.
Integral Tak Tentu
Integral tak tentu atau kadang juga sering disebut dengan istilah Antiderivatif merupakan suatu bentuk operasi pengintegralan suatu fungsi yang menghasilkan suatu fungsi baru. Fungsi ini belum memiliki nilai pasti (berupa variabel) sehingga cara pengintegralan yang menghasilkan fungsi tak tentu ini disebut “integral tak tentu”. Secara matematis integral tak tentu ditulis sebagai berikut :
∫
f(x)dx
Dari persamaan diatas kita dapat menyebutkannya dengan kalimat :"Integral Tak Tentu Dari Fungsi f(x) Terhadap Variabel X".
Rumus-Rumus Integral Tak Tentu
-
∫ axndx =a n+1xn+1 + c; n≠1
-
∫1 xdx = ln|x| + c
-
∫ k dx = kx + c
- ∫ ex dx = ex + c
-
∫ ax dx =ax ln adx = + c
- ∫ kf(x) dx = k ∫ f(x) dx
-
∫ f((x) + g(x))dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
- ∫ f((x) - g(x))dx = ∫ f(x) dx - ∫ g(x) dx
-
∫ (u(x))ru'(x)dx =1 r+1(u(x))r+1, c=konstanta, n≠1
- ∫ u dv = uv - ∫ v du
- ∫ sin x dx = -cos x + c
-
∫ cos x dx = sin x + c
- ∫ sin(ax + b) dx =-1 acos(ax + b) + c
- ∫ cos(ax + b) dx =1 asin(ax + b) + c
- ∫ tan x dx = ln |sec x| + c
- ∫ cot x dx = ln |sin x| + c
- ∫ sec x dx = ln |sec x + tan x| + c
- ∫ csc x dx = ln |csc x - cot x| + c
- ∫ tan2 x dx = tan x - x + c
- ∫ cot2 x dx = cot x - x + c
- ∫ sin2 x dx =1 2(x - sin x . cos x) + c
- ∫ cos2 x dx =1 2(x + sin x . cos x) + c
- ∫ sec2 x dx = tan x + c
- ∫ csc2 x dx = -cot x + c
- ∫ sec x tan x dx = sec x + c
- ∫ csc x cot x dx = -csc x + c
- ∫ sinn x cos x dx =1 n+1sinn+1 x + c
- ∫ cosn x sin x dx =-1 n+1cosn+1 x + c
Latihan Soal Integral Tak Tentu
Soal No.1Tentukan hasil dari :
∫
2x3 dx
Pembahasan
∫
axndx =
a
n+1
xn+1 + c; n≠1
∫
2x3 dx =
2
3+1
x3+1 x + c =
1
2
x4 x + c
Soal No.2
Carilah hasil integral tak tentu dari :
∫
7 dx
Pembahasan
∫
k dx = kx + c
∫
7 dx = 7x + c
Soal No.3
Tentukan hasil integral tak tentu berikut ini:
∫
8x3 - 3x2 + x + 5 dx
Pembahasan
∫
8x3 - 3x2 + x + 5 dx
⇔
8x4
4
-
3x3
3
+
x2
2
+ c ⇔ 2x4 - x3 +
1
2
x2
+ 5x + c
Soal No.4
Carilah nilai integral tak tentu berikut ini :
∫
(2x + 1)(x - 5) dx
Pembahasan
∫
(2x + 1)(x - 5) dx
⇔
∫
2x2 + 9x - 5 + c =
2
3
x3 +
9
2
x2 - 5x + c
Soal No.5
Carilah nilai integral dari :
∫
x(2x - 1)2 dx
Pembahasan
∫
x(2x - 1)2 dx
⇔
∫
x(4x2 - 4x + 1) dx
⇔
∫
(4x3 - 4x2 + x) dx
⇔ x4 -
4
3
x3 +
1
2
x2
Soal No.6
Carilah nilai integral dari :
∫
dx
4x3
Pembahasan
∫
dx
4x3
=
1
4
∫
x-3 dx
⇔
1
4
(
x-2
-2
) + c
⇔
x-2
-8
+ c
⇔ -
1
8x2
+ c
Soal No.7
Carilah nilai integral dari :
∫
x2 - 4x + 3
x2 - x
dx
Pembahasan
∫
x2 - 4x + 3
x2 - x
dx
⇔
∫
(x - 1)(x - 3)
x(x - 1)
dx
⇔
∫
(x - 1)(x - 3)
x(x - 1)
dx
⇔
∫
x - 3
x
dx
⇔
∫
1 -
3
x
dx
⇔
∫
1 dx -
∫
3
x
dx
⇔ x - 3 ln|x| + c
Soal No.8
Carilah nilai integral dari :
∫
4x6 - 3x5 - 8
x7
dx
Pembahasan
∫
4x6 - 3x5 - 8
x7
dx
⇔
∫
4
x
-
3
x2
-
8
x7
⇔ 4 ln|x| - 3(-1)(x-1) - 8(-
1
6
)(x-6) + c
⇔ 4 ln|x| +
3
x
+
8
6x3
+ c
Soal No.9
Carilah nilai integral berikut :
∫
(5 sin x + 2 cos x) dx
Pembahasan
∫
(5 sin x + 2 cos x) dx = -5cos x + 2sin x + c
Soal No.10
Carilah nilai integral berikut :
∫
(-2cos x - 4sin x + 3) dx
Pembahasan
∫
(-2cos x - 4sin x + 3) dx = -2sin x + 4cos x + 3 + c