Contoh Soal Barisan dan Deret Geometri Beserta Jawabannya

Tutorial Matematika edisi kali ini akan membahas tentang barisan dan deret geometri, dimana dalam tutorial ini akan diberikan beberapa contoh soal beserta dengan pembahasannya.  Tentunya soal-soal tersebut akan diberikan ketika kita sudah memahami tentang dasar-dasar barisan dan deret geometri.

Pada pembahasan sebelumnya dengan judul : Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika beserta Jawabannya, kita telah mencoba memahami barisan dan deret aritmatika dengan beberapa contoh soal. Lanjutan tutorial kita kali mencoba tentang barisan dan deret geometri.

Barisan dan Deret Geometri

Terlebih dahulu kita akan memahami konsep awal atau dasar-dasar dari barisan geometri yang meliputi :

• Apa itu barisan geometri ?
• Apa itu deret geometri ?

Apa itu Barisan Geometri ?

Barisan geometri adalah barisan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Jika dalam barisan aritmatika, selisih antara satu suku dengan suku berikutnya disebut dengan nilai beda. Sedangkan dalam barisan geometri selisih antar suku diistilahkan dengan rasio ( dilambangkan dengan r).

Misalkan diketahui barisan seperti dibawah ini :

Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 3 atau r = 3. Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri.

Contoh lain dari Barisan Geometri:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Barisan ini memiliki rasio 2 (r=2)
Setiap suku(kecuali suku pertama) merupakan hasil perkalian suku sebelumnya dengan 2.

Secara umum kita dapat menulis Barisan (Urutan) Geometrik seperti berikut :

{a, ar, ar², ar³, ar⁴, ar⁵, ar⁶, ar⁷...}

dimana:

• a adalah suku pertama
• r adalah rasio

Rumus-Rumus Barisan Geometri

1. Untuk mencari Suku ke-n :

U_n = ar^(n-1)
dimana :

• U_n adalah suku ke-n
• a menyatakan suku pertama
• r menyatakan rasio
• n menyatakan banyaknya suku

2. Untuk mencari nilai rasio(r) :

r = U_n U_(n-1)
dimana :

• r adalah rasio
• U_n adalah suku ke-n
• U_(n-1) adalah suku ke-n sebelumnya

3. Mencari Suku Tengah 
Kita dapat mencari suku tengah untuk sebuah barisan geometri yang memilliki n suku ganjil (banyaknya suku harus ganjil) dimana diketahui suku pertama dan rasio, maka digunakan rumus:

U_t = √a . rⁿ

dimana:

• U_t adalah suku tengah
• a adalah suku pertama
• n menyatakan banyaknya suku
• r adalah rasio

Namun jika untuk mencari suku tengah yang kondisinya hanya diketahui suku pertama, banyaknya n suku dan suku terakhir, maka rumusnya:

U_t = √a . U_n

dimana :

• U_t adalah suku tengah
• a adalah suku pertama
• U_n adalah suku ke-n (dalam hal ini sebagai suku terakhir)

Apa itu Deret Geometri ?

Sama halnya seperti deret aritmatika yang merupakan jumlah dari barisan aritmatika, maka deret geometri adalah hasil penjumlahan dari nilai suku suku sebuah barisan geometri. Deret geometri dikenal juga dengan sebutan deret ukur.
Contoh:

• 1 + 2 + 4 + 8 +16+32
• 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96

Untuk menghitung deret geometri terdapat dua rumus, yaitu :

• Rumus Deret Geometri Turun
  Rumus deret geometri turun hanya bisa digunakan jika 0 < r < 1
  
  S_n = a(1 - rⁿ) 1 - r
  dimana :
  

  • S_n adalah jumlah deret suku ke-n
  • a adalah suku pertama
  • r adalah rasio
  • n adalah banyaknya suku


• Rumus Deret Geometri Naik
  Rumus deret geometri naik hanya bisa digunakan jika r > 1.
  
  S_n = a(rⁿ-1) r - 1
  dimana :
  

  • S_n adalah jumlah deret suku ke-n
  • a adalah suku pertama
  • r adalah rasio
  • n adalah banyaknya suku

Deret Geometri Tak Hingga

Dalam berbagai soal ujian sering ditanyakan jumlah suku tak hingga dari suatu deret geometri.

Lalu kira-kira seperti apa deret goemtri tak hingga tersebut ?

Deret Geometri Tak Hingga adalah penjumlahan suku-suku dalam suatu barisan geometri yang banyaknya tidak terbatas atau bisa dikatakan tak terhingga suku-suku yang akan kita jumlahkan.

Notasi untuk menyatakan deret geometri tak hingga adalah S∞

Karena Deret Geometri Tak Hingga merupakan penjumlahan suku-suku barisan geometri yang tidak terbatas jumlah sukunya, maka secara matematatis deret geometri tak hingga dirumuskan sebagai berikut :

S_∞ = U₁ + U₂ + U₃ + U₄.....

atau dapat juga ditulis dengan rumus berikut :

S_∞ =

a / 1 - r

Latihan Soal

Soal No.1

---

Diketahui sebuah barisan geometri 3, 6, 12....maka suku ketujuh dari barisan geometri tersebut :
a. 128
b. 192
c.  64
d. 190

Pembahasan

a = 3
r = 2
Un = ar^(n-1)
⇒ 3.2^(7-1)
⇒ 3.2^(7-1)
⇒ 192

Jawab : b



Soal No.2

---

Diketahui sebuah barisan geometri : 3, 9, 27, 81, 243. Berapakah rasio barisan geometri tersebut :
a. 4
b. 3
c. 2
d. 9

Pembahasan

Kita ambil dua bilangan terakhir yaitu : 81 dan 243, maka:
U_n = 243
U_(n-1) = 81
Sehingga nilai rasio (r) :
r = U_n U_(n-1) = 243 81 = 3

Jawab :b


Soal No.3

---

Diketahui sebuah barisan geometri : 5, 10, 20, 40, 80,  .... , 5120. Nilai suku tengahnya adalah :
a. 160
b. 320
c. 510
d. 640

Pembahasan

a = 5
U_n = 5120

U_t = √a . U_n

U_t = √5 . 5120 = √25600 = 160

Jawab :a


Soal No.4

---

Terdapat sebuah barisan geometri sebanyak lima suku. Jika suku pertamanya adalah 3 dan rasionya adalah 3. Berapakah suku tengahnya ?
a. 27
b. 81
c. 243
d. 9

Pembahasan

a = 3
r = 3
n = 5

U_t = √a . rⁿ = √3 . 3⁵=729 = 27

Jawab : a

Untuk mempertajam pemahaman contoh soal di atas, simak ulasan dalam bentuk video berikut ini (dijamin paham):



Soal No.5

---

Diketahui barisan geometri dengan U₅ = 6 dan U₉ = 24. Maka suku ke-4 barisan tersebut adalah ...
A. 4√3
B. 3√3
C. 3√2
D. 2√3

Pembahasan

U_n = ar^(n-1)

U₅ = ar^(5-1)
6 = ar⁴

U₉ = ar^(9-1)
24 = ar⁸
24 = ar⁴ . r⁴
24 = 6 . r⁴
24/6 = r⁴
r⁴ = 4
r = 4√4
r = 4^¼
r = 2 ^{2 . ¼}
r = 2 ^½
r = √2

Masukkan nilai r pada U₅:
6 = ar⁴
6 = a(√2⁴)
6 = a(4)
a =

3 / 2

U₄ = ar^4-1
U₄ = ar³
U₄ =

3 / 2

(√2)³
U₄ =

3 / 2

2√2)
U₄ = 3√2

Jawab : C

Soal No.6

---

Pertumbuhan bakteri mengikuti pola barisan geometri. Setiap satu detik bakteri berkembang biak menjadi 2 kali lipat dari jumlah bakteri sebelumnya. Jika pada saat permulaan terdapat 5 bakteri, maka jumlah bakteri berkembang menjadi 320 bakteri setelah ....
A. 6 detik
B. 8 detik
C. 9 detik
D. 11 detik

Pembahasan

Setiap satu detik bakteri berkembang biak menjadi 2 kali lipat dari jumlah bakteri sebelumnya.
Pernyataan tersebut dapat kita simpulkan rasio (r) = 2

Jika pada saat permulaan terdapat 5 bakteri
Pernyataan ini bisa simpulkan bahwa suku pertama (a) = 5

Jumlah bakteri berkembang menjadi 320 bakteri.
Pernyataan di atas bermakna : Suku ke-n (U_n) = 320

Sekarang kita sudah dapat yang diketahui yaitu :
r = 2
a = 5
U_n = 320

Yang ditanyakan adalah : suku ke-n (detik ke berapa) ?

U_n = ar^n-1
320 = 5.2^n-1
320 5 = 2^n-1
64 = 2^n-1
2⁵ = 2^n-1
5 = n-1
5 + 1 = n
n = 6

Jadi jumlah bakteri berkembang menjadi 320 bakteri setelah 6 detik

Jawab : A

Soal No.7

---

Diketahui barisan geometri dengan suku ke-2 =

1 / x

dan suku ke-7 =

1 / x⁶

. Dengan demikian suku ke-10 nya adalah ....
A.

1 / x⁸

B.

1 / x⁹

C.

1 / x¹⁰

D.

1 / x¹¹

Pembahasan

ar =

1 / x

... (i)
ar⁶ =

1 / x⁶

ar.r⁵ =

1 / x⁶

... (ii)

1 / x

. r⁵ =

1 / x⁶

r⁵ = (

1 / x⁶

) . x
r⁵ =

1 / x⁵

r =

1 / x

a = 1
U₁₀ = ar⁹ = 1. (

1 / x

)⁹ =

1 / x⁹

Jawab : B

Soal No.8

---

Jika diketahui suatu deret geometri dengan U₁ = 2 dan memiliki rasio 3 serta suku tengahnya adalah 54. Tentukanlah nilai suku terakhir dari deret tersebut ?

Pembahasan

U₁ = a = 2
r = 3
U_t = 54

U_t = √a . U_n

54 = √2 . U_n

54² = (√2 . U_n)²

54² = 2 . U_n
2916 = 2U_n
2U_n
= 2916
U_n =

2916 / 2

U_n = 1458

Dengan demikian, suku terakhir (Un) dari deret tersebut yaitu 1458.

Soal No.9

---

Suku pertama dan rasio antar suku dari suatu barisan geometri berturut-turut adalah 10 dan

2 / 3

. Jumlah tak hingga dari deret tersebut adalah ...
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40

Pembahasan

a = 10
r =

2 / 3

S_∞ =

a / 1 - r

S_∞ =

10 / 1 - 2 3

S_∞ =

10 / 1 3

S_∞ = 10 x 3
S_∞ = 30

Jawab : C